Un nombre de Motzkin pour un nombre n donné est le nombre de manières différentes de tracer des cordes dans un cercle qui ne se coupent pas entre n points. Les nombres de Motzkin ont de très nombreuses applications en Géométrie, Combinatoire et Théorie des nombres. Les premiers petits nombres de Motzkin sont, d'après la séquence A001006 de l'OEIS :

1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829,...

Un nombre premier de Motzkin est un nombre de Motzkin qui est premier. Les premiers nombres premiers de Motzkin sont, d'après la séquence A092832 de l'OEIS :

2, 127, 15511, 953467954114363

Le nombre de Motzkin pour n est aussi le nombre de suites d'entiers positifs de longueur n - 1 dans lesquelles les éléments de départ et de fin sont soit 1 ou 2, et la différence entre deux éléments consécutifs est -1, 0 ou 1.

De plus, sur le quadrant supérieur droit d'un repère, le nombre de Motzkin pour n donne le nombre de pas de la coordonnée (0, 0) à la coordonnée (n, 0) si l'on est seulement autorisé à se déplacer vers la droite (soit en haut, bas ou tout droit) mais interdit de passer sous l'axe des abscisses.

Toutes rassemblées, il existe au moins quatorze manifestations différentes des nombres de Motzkin dans les différentes branches des Mathématiques, comme énumérées par Donaghey et Shapiro dans leur tour d'horizon des nombres de Motzkin en 1977.